Sistema Lambert Print E-mail
Written by Linda L. Velez-Rodriguez   
Monday, 03 January 2011 16:55

El presente documento titulado Sistema Lambert tiene como propósito el sentar las bases para que se entienda lo que es el conocido Sistema Lambert y que origino su creación al igual que su relación con aplicaciones en específico en sistemas de coordenadas para localizar lugares.  Para lograr nuestro propósito discutiremos varios temas que tienen relación directa con el Sistema Lambert.

La cartografía es el arte, ciencia y tecnología de hacer mapas junto con su estudio como documento científico y trabajo de arte.  El término mapa lo podemos definir como una representación de la tierra o parte de ella a escala.  La escala es la relación entre el tamaño real del área y la porción reducida que aparece en el mapa.  Existen varias formas de representar la escala de un mapa.  Las mas conocidas son la escala grafica y la fracción representativa.  La escala grafica es una barra dividida en pies, millas, metros y/o kilómetros de tal forma que esas divisiones coincidan con las distancias a observarse en el mapa.  La fracción representativa es una fracción numérica que nos indica la relación de una unidad en el mapa con la misma en el terreno.  Ejemplo de estas formas de expresar la escala de un mapa lo vemos en la serie de mapas topográficos de Puerto Rico los cuales se denominan como los cuadrángulos topográficos.  Estos mapas los diseñaron y los publican el Servicio Geológico de los Estados Unidos o U.S. G. S. por sus siglas en ingles (United State Geological Survey).  Los cuadrángulos topográficos de Puerto Rico cubren 7.5 minutos de arco de latitud por 7.5 minutos de arco de longitud, así que se denominan la serie de 7.5 minutos de cuadrángulos topográficos y la isla se cubre con 67 cuadrángulos a escala 1:20,000.  En cada una de las esquinas de un cuadrángulo aparecen las coordenadas geodésicas para esa esquina, es decir, la latitud y longitud geodésica.  Estas se ilustran en grados, minutos y segundos, ejemplo: 18º 15’ 00” N (N= norte) de latitud y 66º 45’ 30” W (W = Oeste) de longitud.  El sistema de coordenadas  esférico usado para localizar lugares en la Tierra se refiere a un sistema imaginario de círculos que pasan los polos conocidos como meridianos de longitud y que tiene como punto de partida el meridiano 0º que pasa por el Observatorio Real de Greenwich, Inglaterra, el cual divide la tierra en dos hemisferios designados al Este o al Oeste de Greenwich y van de 0º a 180º, coincidiendo el meridiano 180º E con el de 180º W.  Con relación a la latitud, la Tierra está dividida en dos hemisferios usando de partida el Ecuador.  Es decir, que las latitudes se designan al Norte o al Sur del Ecuador comenzando con 0º en el Ecuador el cual es un circulo que contiene el centro de la esfera, si usamos una esfera como aproximación de la forma de la tierra, este circulo se denomina circulo máximo en ingles es “great circule”.  En los polos tenemos una latitud igual a 90º, el cual es un punto, que coincide con el eje de rotación de la Tierra, dividiendo el ecuador o paralelo de latitud igual a 0º en dos hemisferios, al norte del ecuador y al sur del ecuador, siendo como las latitudes máximas en dichos hemisferios la 90º N y la 90º S.


Figura 1 Escalas de Topográficos del USGS

La mayor parte de las veces los mapas son presentados en superficies planas, por pura conveniencia, ya que es mas fácil doblar un papel que cargar con un globo.  Aunque mayormente se representa la Tierra usando una esfera, la forma que mejor aproxima la forma de la Tierra matemáticamente es un elipsoide en revolución, pero con el propósito de simplificar muchos cálculos generalmente se usa una esfera como la figura geométrica que representa la tierra. Como un aparte, entiendan que la forma física de nuestro planeta se denomina como el geoide, refiérese al artículo aqui.  Al mostrar en una superficie plana lo que tenemos en una superficie curva se ocasionan ciertas distorsiones o deformaciones.  Con el propósito de disminuir estas distorsiones a un mínimo, se han desarrollado las proyecciones cartográficas.  Como el nombre así lo implican, en las proyecciones cartográficas se proyecta lo que esta en la superficie de la tierra a una superficie plana o que se pueda desarrollar o convertir luego en un plano.  Esto se hace geométricamente o usando ecuaciones matemáticas.  El cono, el cilindro y el plano se usan comúnmente como superficies desarrollables.  Además de que la superficie desarrollable se use, las proyecciones cartográficas tienen otras propiedades.  Cuando en una proyección cartográfica se preserva o se conserva el área, la proyección se conoce como equivalente.  Al igual que una proyección conforme es aquella en donde se preserva la forma y una proyección equivalente es aquella en donde se preservan las distancias. 


Figura 2 Superficies Desarrollables

El Servicio de Costas y Geodésico de los Estados Unidos (denominado en ingles como United State Coast and Geodetic Survey) agencia predecesora del “National Geodetic Survey” o NGS, para la década del 1930 diseño para todos los Estados Unidos de America y sus posesiones incluyendo Puerto Rico e Islas Vírgenes, lo que se denomino el Sistema de Coordenadas Planas Estatales.  Este sistema consiste en usar las coordenadas planas que se obtengan con la proyección de coordenadas cartográficas que mejor represente las características geográficas de cada uno de los estados de tal forma que se provean las coordenadas planas de los mismos.  Se usaron tres proyecciones cartográficas conformes para generas el Sistema de Coordenadas Planas Estatales, ellas son: la Lambert Conforme Cónica con dos paralelos estándar, la Transversa Mercator y la Oblicua Mercator, usándose esta última únicamente en Alaska.  La Transversa Mercator se usa en lugares que predominantemente se extienden de Norte a Sur.  Mientras que la Conforme Cónica Lambert se usan en territorios que predominantemente se extienden de Este a Oeste.  En cada una de las proyecciones cartográficas usadas se establecen zonas de 158 millas de ancho en las direcciones opuestas a las que predominan su extensión.  Con esta limitación en las designaciones de las zonas, cualquiera de las ultimas proyecciones cartográficas se pudiera usar en Puerto Rico, pero como geográficamente nuestra Isla, o mejor dicho nuestro archipiélago se extiende de Este a Oeste, así que la proyección cartográfica designada para nosotros incluyendo nuestros vecinos de las Islas Vírgenes, lo es la Proyección Conforme Cónica Lambert con dos paralelos estándar, siendo su meridiano central la longitud igual a 66º-26’ W y los paralelos de latitud estándar son: 18º-02’ N y 18º-26’N.  Con estos y otros parámetros, al igual que la función matemática correspondiente tendremos las coordenadas planas X & Y, para un punto con su latitud y longitud.  Esto se expresa matemáticamente como sigue:

X = fx (φ, λ)  & Y = fy  (φ, λ).

Los otros parámetros a los que nos referimos son los que se establecen para determinar el Datum.  La definición de un Datun que más acertada he encontrado es la expresada en la publicación “NOAA Technical Memorandum NOS NGS-50” de enero del 1990 por Warren T. Dewhurst en donde se indica que: “Un DATUM es un conjunto de parámetros que definen un sistema de coordenadas y un conjunto de puntos de  control cuya relación geométrica es conocida ya sea por medidas o cálculos.  Todos los DATUMS se fundamentan en un esferoide o elipsoide de referencia, el cual aproxima la forma de la Tierra.”

En la década de los 1930 en los Estado Unidos se usaba el Datum de Norte America del 1927 y en Puerto Rico se usaba el denominado “Puerto Rico Datum”.  Estos Datums lo único que tenían en común es el elipsoide de referencia que usan, el cual es el de Clarke del 1866.  Actualmente se ha establecido el uso para toda Norte America del Datum de Norte America del 1983, este Datum usa como elipsoide de referencia el elipsoide denominado “Geodetic Reference System of 1980” y se designa con sus siglas de GRS80.  El denominado Datum de Norte America del 1983 que se designa por sus siglas en ingles como NAD 83, desde su origen ha sido revisado varias veces como consecuencia de la evolución de los sistemas de medidas incluyendo los que son consecuencia de la era espacial, teniendo como ejemplo los sistemas de posicionamiento global, mejor conocidos por sus siglas en ingles de GPS (Global Positioning Systems) entre otros.  El NAD 83 se ha continuado denominándose igual añadiéndose al final en paréntesis su revisión o como se le designa en ingles su “realization”.  El vigente actualmente es el NAD 83(2007).

Para tener el marco de referencia mas claro, definiremos lo que es geodesia.  La geodesia es la rama de las matemáticas aplicadas que estudia el tamaño y forma de la tierra al igual que la variación de su campo gravitacional.  La red de control geodésico de un país provee una serie de puntos de control o monumentos a los cuales se les conocen sus coordenadas geodésicas y en algunos casos la elevación sobre el nivel promedio del mar.  Se designa como red de control horizontal cuando en los puntos de control se tienen las coordenadas geodésicas, de tal forma que se pueda obtener la planimetría; mientras que la red de control vertical, es la que provee datos referentes a la elevación de los puntos de control.  Para cada uno de los puntos de la red de control geodésico de Puerto Rico, se han calculado las coordenadas planas estatales usando la proyección conforme cónica Lambert con dos paralelos estándar referidas al Puerto Rico Datum, previo al NAD 83.  A esta serie de puntos de control o monumentos con esas coordenadas planas estatales, X & Y, es lo que se conoce comúnmente como el “Sistema Lambert”.  Actualmente esos mismos puntos de control o monumentos tienen otras coordenadas geodésicas, y a su vez otras coordenadas planas estatales como consecuencia del nuevo NAD 83(2007).

El uso del sistema de coordenadas planas estatales es compulsorio en Puerto Rico como consecuencia de la Ley número 264  del 16 de noviembre de 2002, referidas a la mas reciente revisión del NAD 83.  Podemos resumir que el llamado Sistema Lambert se refiere a las coordenadas planas de la red de los puntos de control geodésico de Puerto Rico, antes referidos al Puerto Rico Datum y hoy referidos al NAD 83 (2007).  En un mismo punto de control geodésico  estos valores en términos de coordenadas planas estatales ni se parecen, esto se debe a que son datums diferentes con orígenes y parámetros diferentes.  Especial precaución se debe tener al usar las coordenadas planas estatales pues el mezclar datums aunque sean del “mismo” sistema de coordenadas planas estatales resultaría en un error en la ubicación del punto o puntos que definan un rasgo.




Figura 3 Red de Triangulación de Puerto Rico


Como ejemplo de estos valores, presentamos el punto “Frio 1934 USGS”, cuyas  coordenadas geodésicas referidas al Puerto Rico Datum son: Latitud = 18º-18’-30.947” N y Longitud = 65º-52’-12.191” W.  Esas mismas coordenadas geodésicas referidas esta vez al NAD 83(1993) son: Latitud = 18°-18’-23.86483”N y Longitud = 65°-52’-10.79346” W.  Al hacer la conversión correspondiente tendremos valores muy distintos.  Es importante indicar que los mapas topográficos publicados por el USGS, mejor conocidos como los cuadrángulos topográficos se publican en metros a escala 1:20,000 a diferencia de los publicados en los Estados Unidos que se uso los pies como unidad lineal y se usa la escala 1:24,000.  No obstante los parámetros para hacer las conversiones correspondientes al sistema de coordenadas planas estatales para el Puerto Rico Datum se publican en pies, y dichas coordenadas se obtuvieron en su primera versión en pies. 

Los parámetros para estos dos datum son los siguientes:

                                                    PR Datum       NAD83

 LATITUD DE ORIGEN               17º 15’ N       17º 15’ N
  MERIDIANO CENTRAL             66º 26’ W      66º 26’ W
 PARALELO STANDARD 1          18º 02’ N       18º 02’ N
 PARALELO STANDARD 2          18º 26’ N       18º 26’ N
 FALSO ESTE                      500,000.00 pies 200,000.000 m
 FALSO NORTE                         0.00 pies.   200,000.000 m
 l = sin q                           0.3128882281  0.312888187729
 Rb                              63,687,479.44 pies. 19,411,706.1974 m

Como ejemplo de las ecuaciones y los parámetros presentamos la conversión de las coordenadas geodésicas del punto   o estación  Frío 1934 USGS en el NAD 83(1993) a las coordenadas en el sistema de coordenadas planas estatales mejor conocidas como Sistema Lambert referidas al NAD 83(1993).

ESTACION: FRIO 1934 (USGS) P.R.
PID = TV1353; TERCER ORDEN  HORIZONTAL

LATITUD: = 18º-18’-23.86483”N = 18.3066291194º
LONGITUD:  = 65º-52’-10.79346” W = 65.86966485º

ZONA: Puerto Rico e Islas Virgenes

       NORTE= N = Y = ?                   ESTE= E = X = ?

ECUACIONES:         N = Rb - R cos (γ ) + Nb    E = R sin (γ ) +  E0
        γ    = Angulo de Convergencia = (λ cm  - λ ) sin (Φ0)

CONSTANTES:    Rb = 19,411,706.1974 m      E0 = 200,000.0000 m
            Nb = 200,000.0000 m
      l  =  0.312888187729 = sin (Φ0)
    λ cm  = Meridiano Central = 66º-26’-00.00”  =  66.4333333333º 

Los invito a que resuelvan las ecuaciones, indicando que el valor de R se obtiene de una interpolación y que en este caso, R para 18º-18’-23.86483”  = 19,359,321.2117 m.